Propunem mai jos un paradox care a fost popularizat de Martin Gardner în octombrie 1959, în rubrica sa „Mathematical Games” din revista Scientific American, sub denumirea „Problema celor doi copii” („The Two Children Problem”)

Vom analiza astfel, o problemă probabilistică legată de o politică ipotetică în care fiecare familie dintr-o țară face copii până când au un băiat, apoi se opresc obligatoriu. Vom încerca să determinăm care va fi proporția de băieți și fete în această țară.

Politica ipotetică: Link spre

  • Fiecare familie continuă să aibă copii până când apare un băiat.
  • Pentru fiecare copil, șansa de a fi băiat sau fată este de 50%, și este independentă de ceilalți copii, fie ei gemeni sau nu.

Categoric, la nivel de structură, familiile cu un băiat se vor apropia de 100% față de 50% înainte de adoptarea noii politici.

În mod intuitiv, am putea crede că acest tip de politică ar favoriza mai mulți băieți decât fete, dar, de fapt, proporția dintre băieți și fete va rămâne constantă.

Explicația teoretică Link spre

Fiecare familie va avea, în medie, un băiat (pentru că se opresc când apare un băiat). Numărul de fete este distribuit conform unui proces geometric.

Distribuția probabilității pentru numărul de fete într-o familie care se oprește la primul băiat poate fi descris astfel:

  • Probabilitatea de a avea 0 fete (un băiat din prima) este de 50%.
  • Probabilitatea de a avea 1 fată și apoi un băiat este de 25%.
  • Probabilitatea de a avea 2 fete și apoi un băiat este de 12.5%, etc.

Conform legii numerelor mari, pe măsură ce numărul de familii crește, numărul mediu de băieți pe familie converge aproape sigur către 1, iar numărul mediu de fete pe familie converge în probabilitate către 1.

Astfel, la nivel de populație, raportul băieți/fete va rămâne 1:1.

Teoria probabilităților nu poate decât să estimeze că în fiecare familie vom avea, cel mai probabil, o fată, dar avem certitudinea că vom avea cel mult un singur băiat. Putem să găsim familii cu zece fete, dar doar niciodată familii cu 2 băieți sau mai mulți.

Pentru a putea aplica Legea Numerelor Mari în modelul de reproducere discutat, este necesară existența unei Minimum Viable Population (MVP) care să asigure viabilitatea procesului reproductiv.

Viabilitatea procesului reproductiv Link spre

În contextul particular în care procesul reproductiv evoluează doar dacă populația are un număr minim de 8 bărbați și 16 femei, iar populația inițială pleacă exact de la această configurație minimă, este posibil să calculăm viabilitatea procesului pe termen lung, combinată cu politica ipotetică.

Aceasta presupune evaluarea probabilității ca, prin fluctuațiile aleatoare inerente procesului reproductiv, populația să nu scadă sub aceste praguri critice în generațiile următoare.

Context • Fiecare om continuă să reproducă copii până apare un băiat (eveniment cu probabilitate p = 0.5) sau până este atinsă o limită (maxim 40 copii/femeie, dar în practică o limită rezonabilă). • Dacă în total numărul bărbaților scade sub 8 sau numărul femeilor scade sub 16, procesul se oprește (extincție). • Fiecare femeie se reproduce, dacă are un partener.

Am alterat puțin politica, în sensul că familia rămâne tradițională, nu se desparte, pentru a se reproduce ulterior.

Avem garantate 16 reproduceri, în cazul când primii 8 bărbați reproduc doar bărbați și deci se opresc. Vor mai urma încă 8 reproduceri.

Există o probabilitate de $2^{-16}$ ca procesul să se încheie aici.

Diagrama de mai jos reprezintă un lanț Markov construit pentru a modela probabilitățile de tranziție între stări (în procente), unde starea reprezintă numărul de fete rămase în procesul de reproducere. Starea 0 este absorbantă și indică situația în care nu mai există nicio fată — adică procesul s-a încheiat.

Acestă abordare vine cu două interpretări complementare: • în dinamică, arată cum se diminuează numărul de fete în timp (după fiecare generație), în funcție de distribuția binomială a noilor copii (cu șansa 50% de a fi fată); • în retrospectivă, diagrama permite estimarea probabilității ca, pornind de la un anumit număr de fete, procesul să ducă la extincție (starea 0) într-un anumit număr de pași.

Probabilitatea ca procesul să se încheie este destul de mică $$\sum_{k=0}^{16} \binom{16}{k} \cdot 2^{-16} \cdot 2^{- k}\approx 1\%$$

Cazul în care toate cele 8 perechi nu au niciun băiat în 320 de reproducții este extrem de improbabil, deși teoretic există o astfel de posibilitate, asociată cu un risc rezidual de neviabilitate.

În concluzie, există o probabilitate puțin peste 1% ca să nu putem aplica legea numerelor mari în acest context. Totuși, această ipoteză nu poate fi respinsă la un nivel de încredere de 98%.

Acest paradox este caracteristic întregului domeniu al Matematicii Stochastice sau Actuariale! test Nu trebuie să înțelegi toate acestea—doar găsește cel mai bun actuar certificat care să construiască modelul adecvat!