Din toate timpurile, oamenii s-au întrebat cum să împartă resursele în mod onest.
De la apa împărțită între călătorii pierduți în deșert, la pâinile puse pe masă pentru un străin flămând, dilema a rămas aceeași: cât revine fiecăruia dacă vrem să fim cu adevărat drepți?

Această problemă apare în multe culturi. Una dintre cele mai vechi versiuni se găsește în manuscrise arabe medievale: doi drumeți aveau cu ei cinci și trei pâini. Se întâlnesc cu un al treilea călător și hotărăsc să mănânce toți trei din pâinile puse la comun. După masă, nou-venitul, recunoscător, lasă opt monede pentru masa primită. Cum ar trebui împărțiți banii?

În literatura română, Ion Creangă reia aceeași dilemă în povestea „Cinci pâini”, unde simplitatea situației ascunde o subtilă problemă de justiție distributivă.

În iunie 2024 setam un nivel mai bun ca AI, iar până astăzi niciun model AI nu a oferit un răspuns corect la această problemă. Acest fapt a devenit motivația prezentului articol: să urmărim cât timp va mai dura până când modelele AI vor reuși să o rezolve corect.

Vom explora mai jos care este logica împărțirii oneste, cum putem rezolva dilema și care sunt limitele modelului.

Problema în stil E.T. Jaynes (maxim de entropie) Link spre

5:3

Vom prezenta problema într-o manieră formală, în care fiecare informație este justificată și ce nu este specificat se judecă prin principiul maximului de entropie (E.T. Jaynes).

  1. Informații cunoscute (date ex-ante): (1.1) Primul călător, denumit A, are 5 litri de apă. (1.2) Al doilea călător, denumit B, are 3 litri de apă. (1.3) Al treilea călător, denumit C, nu are apă, iar la momentul întâlnirii, nimeni nu a băut apă. (1.4) Toți călătorii au aceeași avere inițială, pentru a elimina orice avantaj sau dezavantaj preexistent. (1.5) Înainte de deșert, A și B cumpără apă de la același magazin la același preț, considerând că aceasta este strategia optimă pentru a traversa deșertul.

  2. Informații necunoscute și presupuneri E.T. Jaynes: (2.1) Nu există informații suplimentare despre preferințele exacte ale călătorilor sau despre modul în care C decide să se comporte. (2.2) Prin principiul maximului de entropie, orice informație necunoscută trebuie tratată uniform: nu putem favoriza arbitrar pe nimeni în lipsa datelor.

  3. Situația la finalul călătoriei: (3.1) Toți trei supraviețuiesc la limită, consumând apa în mod egal, ceea ce reflectă utilizarea optimă a resurselor, dar și riscurile asumate. (3.2) La final, C oferă M = 8 monede celor doi călători ca recompensă, fără a specifica modul de împărțire.

Soluția clasică Link spre

Soluția intuitivă clasică presupune că recompensele se împart proporțional cu contribuția netă a lui A și B, fără a ține cont de simetria situației inițiale sau de principiul entropiei maxime.

  1. Calcul volumelor și proporțiilor:
  • Volumul total de apă:

$$ V = v_A + v_B + v_C = 5 + 3 + 0 = 8 $$

  • Contribuția netă după împărțirea egală:

$$ c_A = v_A - \frac{V}{3} = 5 - \frac{8}{3} \approx 2.3333 $$

$$ c_B = v_B - \frac{V}{3} = 3 - \frac{8}{3} \approx 0.3333 $$

  1. Regula clasică de împărțire:
  • Se consideră, prin simplificare, că monedele primite trebuie să reflecte contribuția netă de apă a fiecăruia.
  • Astfel, cele 8 monede se împart proporțional cu contribuțiile:

$$ c_A : c_B = \frac{7}{3} : \frac{1}{3} = 7 : 1 $$

Critica constructivă Link spre

Astăzi știm că împărțirea nu este unică, iar aplicarea criteriului clasic poate genera oportunități de arbitraj.

Mai mult, trebuie subliniat că fără aportul B, A nu ar încasa nicio monedă, ba chiar ar pieri din lipsa apei (3.1), dacă ar decide să meargă singur cu C. Acest aspect nu poate fi ignorat.

Dacă recompensa s-ar înregistra prin factură, ar încasa banii legal, iar modul de împărțire ar fi decis a priori și transparent. În lipsa acestei documentații, un judecător consideră ilegală încasarea banilor și nu trebuie să propună altă soluție.

Introducerea monedei transformă problema dintr-o economie de tip Crusoe bazată pe barter într-un context în care orice resursă, inclusiv apa, poate fi evaluată monetar. Acest aspect nu poate fi ignorat.

Astfel, dacă soluția clasică ar fi legală și prețul apei ar fi, doar ca exemplu, 1L = 1 monedă, apar oportunități de arbitraj care pot fi identificate și analizate.

Soluția economică Link spre

Pentru a elimina arbitrajul, B–fiind actuar–, propune S1 să cumpere 1 L de apă de la A la valoarea de transfer, înainte de a salva situația și a împărți resursele în trei. Altfel consideră că este prea riscant să intre în acest aranjament, deoarece ar intra într-un joc asimetric cu risc de pierdere a credibilității.

Această mutare resetează asimetria dintre cei doi, iar intrarea în joc se face în condiții echitabile, eliminând orice posibilitate de arbitraj. Menționăm că la acest pas A și B nu știu dacă sau ce recompensă primesc.

Această strategie este Pareto eficientă: A sau B nu pierd nimic din acest transfer.

Dacă tranzacția este acceptată, asimetria inițială se elimină, iar împărțirea 4:4 e greu de contestat, cu B beneficiind net de 3 monede (4-1), față de doar 1 în soluția clasică. Sigur, soluția depinde de valoare de transfer a apei.

Soluția fizică Link spre

În fizică, simetriile nu sunt doar proprietăți estetice, ci indică invarianțe ale legilor naturale. Noether (1918) a demonstrat un rezultat crucial: fiecărei simetrii continue a acțiunii unui sistem fizic îi corespunde o lege de conservare–Translația în timp → conservarea energiei.

Asta arată că simetria precede legea: dacă ai identificat corect simetria, legea (și mărimea conservată) urmează aproape inevitabil.

Aplicând aceeași idee aici, identificăm dezechilibrul inițial între A și B și corectăm situația prin transferul unui litru de apă de la A la B înainte de împărțirea evolutivă a banilor.

Astfel, se restabilește o simetrie globală, similar principiului conservării într-un sistem fizic închis, ceea ce permite aplicarea unui criteriu de măsurare echitabil și consecvent, conducând la aceeași soluție Pareto-optimală ca cea economică: împărțire egală între A și B, urmată de ajustarea pentru transferul inițial al apei.

Așadar, dor stabilind o simetrie globală, se poate aplica un criteriu rezonabil și consistent, conducând la aceeași soluție ca cea economică.

Soluția clasică nu depinde de toate condițiile inițiale (valoarea de transfer a apei), prin urmare nu poate genera soluția optimă indiferent de starea inițială a sistemului. Chiar și dacă valoarea de transfer a apei ar fi zero, soluția clasică tot la împărțirea 7:1 rămâne. La fel și dacă ar valora milioane.

Variația sistemului Link spre

După cum subliniază David Deutsch, o explicație bună este aceea care menține variația posibilităților și coerența sistemului. În contextul problemei noastre, o explicație solidă trebuie să fie adaptată la condițiile inițiale dar suficient de rigidă pentru a exclude exploatarea sistemului (arbitraj).

De exemplu, dacă valoarea de transfer apei ar fi 5 monede pe litru, în urma tranzacției S1, B ar suferi un efect net de la 1 monedă în soluția clasică la -1. Această variație este așteptată și reflectă modul în care sistemul răspunde la schimbarea parametrilor. În plus, arată că S1 nu avantajează pe nimeni.

În schimb, soluția clasică nu satisface criteriul variației: nu oferă o explicație robustă a rezultatelor atunci când parametrii sistemului se modifică.

Revenind la soluția economică, dacă împărțirea clasică ar fi impusă prin lege, A și B ar putea genera un arbitraj imediat după încasarea banilor de la C, prin propunerea unei soluții alternative S2 care să le favorizeze net, de exemplu prin evitarea impozitării sau alte mecanisme similare. Mai mult, ar putea creea artificial un jucător C și astfel, știind bine condițiile, pot arbitra și mai eficient.

Concluzii Link spre

Odată ce ai stabilit un cadru simetric global, poți aplica apoi un criteriu (economic, fizic sau probabilistic) pentru a prezice sau estima un rezultat viitor. Cu toate acestea, repartizarea nu este niciodată unică: diferitele criterii pot conduce la soluții distincte, iar posibilitățile de arbitraj persistă atâta timp cât regula de împărțire nu este stabilită înainte de primirea recompensei.

Nu putem accepta sacrificarea unor soluții benefice pentru stabilitatea pieței doar de dragul simplificării proceselor.

Această abordare definește practic domeniul Matematicii Actuariale, în special prin teoria credibilității. test Nu este necesar să stăpânești toate detaliile—doar găsește cel mai bun actuar certificat care să construiască modelul adecvat!