De la probabilități admisibile la măsuri martingale echivalente

Articolul Holtan (2007) integrează teoria de evaluare a opțiunilor cu practica de pricing în asigurări generale, analizând atât abordările de no-arbitrage și martingale, cât și aspectele complete și incomplete ale pieței din perspectiva cererii și ofertei.

Conform definiției precise date de Harrison and Pliska (1983), o piață financiară este o piață completă dacă și numai dacă există o unică măsură martingală echivalentă asociată procesului stochastic subiacent. În acest context, orice prestație contingentă poate fi mitigată dacă și numai dacă măsura martingală este unică Shreve (2004), ceea ce consolidează legătura dintre completitudinea pieței și posibilitatea de acoperire completă a riscului.

O martingală discretă este un proces stochastic $ (X_t)_{t=0,1,2,\dots}$ adaptat unei filtrații $ (\mathcal{F}_t)$, cu speranță finită, care satisface proprietatea de echitate temporală:

\mathbb{E}[X_{t+1}\mid \mathcal{F}_t] = X_t,

adică, condiționat de informația disponibilă la momentul $ t$, valoarea așteptată viitoare a procesului este aceeași cu valoarea sa curentă.

Pe scurt, un proces Itô discret¹,

X_{t_{k+1}}
= X_{t_k}
+ \mu(t_k,X_{t_k})\,\Delta t_k
+ \sigma(t_k,X_{t_k})\,\Delta W_{k+1}\tag{Euler–Maruyam}

conduce la o martingală dacă $ \mu(t,X_t) = 0$.

Fundamentele riguroase rămân cele consacrate în literatura de specialitate:

• caracterizarea derivatelor Radon–Nikodym ca instrument al schimbării de măsură în pricing Shreve (2004),
• respectiv formalizarea modificării derivării proceselor stochastice prin teorema lui Girsanov Øksendal (2003).

Deși trecerea prin teorema Radon–Nikodym și apoi prin teorema lui Girsanov este esențială din punct de vedere matematic, ea tinde adesea să mute atenția economiștilor și actuarilor de la mecanismul de evaluare propriu-zis către detalii tehnice de schimbare a măsurii.

Încercăm aici să ilustrăm acest concept printr-un exemplu simplu, în care criteriul de selecție acționează ca un magnet, atrăgând din mulțimea probabilităților admisibile acele distribuții care se aliniază probabilităților risc-neutre.

Această perspectivă evidențiază mai clar legătura dintre absența arbitrajului, evaluarea actuarială și rolul central al probabilităților echivalente în determinarea prețurilor.

Simplificarea adoptată trebuie înțeleasă ca o alegere de expunere, care favorizează intuiția economică fără a nega necesitatea cadrului matematic complet.

Ca exemplu, să considerăm un proces discret $ (X_n)$ definit recursiv pornind de la $ X_0 = 0$. La fiecare pas,

• $ X_{n+1} = X_n + 1$ cu probabilitate $ p$,
• $ X_{n+1} = X_n - 1$ cu probabilitate $ q = 1 - p$.

Condiționat pe valoarea curentă $ X_n$, valoarea așteptată la pasul următor este

\mathbb{E}[X_{n+1} \mid X_n, ... , X_1]
= p (X_n + 1) + q (X_n - 1)
= X_n + (p - q).

Prin urmare, procesul $ (X_n)$ este o martingală discretă dacă și numai dacă $ p = \frac{1}{2}$.

Asemeni procesul de Moivre,

Y_n = \left( \frac{q}{p} \right)^{X_n}

este o martingală deoarece:

\begin{aligned}
\mathbb{E}[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]
&= p \left( \frac{q}{p} \right)^{X_{n}+1}
   + q \left( \frac{q}{p} \right)^{X_{n}-1} \\[6pt]
&= p \left( \frac{q}{p} \right) \left( \frac{q}{p} \right)^{X_{n}}
   + q \left( \frac{p}{q} \right) \left( \frac{q}{p} \right)^{X_{n}} \\[6pt]
&= q \left( \frac{q}{p} \right)^{X_{n}}
   + p \left( \frac{q}{p} \right)^{X_{n}} \\[6pt]
&= \left( \frac{q}{p} \right)^{X_{n}}
= Y_{n}.
\end{aligned}

Pentru un proces cu doar 2 stări, există o singură măsură martingală echivalentă $ q = (q_d, q_u)$, tratată aici. Facem acum, un pas în plus la 3 stări admisibile:

Datele problemei Link spre

Model cu un singur pas (0 → T), suport pentru $ S_T$ în trei stări:

• $ S_d = 50$
• $ K = 110$, unde $ K$ este prețul de exercitare al call-ului (striKe price)
• $ S_u = 130$

Parametri:

• $ S_0 = 100$
• $ r = 0.05$
• $ T = 1$
• $ p = (0.6, 0.2, 0.2)$
• ‼️ Probabilitățile date sunt date descriptive, nu de pricing, cu care să calculăm $ S_0 $

Într-o piață incompletă, absența oportunităților de arbitraj implică existența unei mulțimi nevidă de măsuri martingală echivalente $ \mathcal{Q}$, dar nu impune ca măsura fizică $ P$ să aparțină acestei mulțimi.

Presupunerea $ P \in \mathcal{Q}$ echivalează cu afirmația că:

• investitorii evaluează direct sub distribuția fizică,
• primele de risc sunt nule,
• preferințele pentru risc nu influențează prețurile.

Prețul Forward, determinat prin capitalizarea valorii curente (Spot) la rata dobânzii fără risc, este:

F_{0\to T} = S_0 e^{rT} = 100 e^{0.05} \approx 105.1271096.

Știm astfel care va fi valoarea așteptată sub orice măsura martingală indusă de $ q$. Chiar și așa, variabila aleatoarea replicată nu este unică și nici ușor de determinat.

1. Piață incompletă: măsura martingală echivalentă nu este unică Link spre

Căutăm o măsură de probabilitate $ q = (q_d, q_K, q_u)$ astfel încât:

\left\lbrace
\begin{aligned}
q_d + q_K + q_u &= 1, \\
q_d S_d + q_K S_K + q_u S_u &= F_{0\to T}, \\
q_i &\ge 0, \quad i \in \{d, K, u\}.
\end{aligned}
\right.

Cu 3 stări și doar aceste două ecuații (plus negativitatea), rămâne un grad de libertate: există infinit de multe măsuri martingale $ q$ admise.

Pentru valorile date, din sistem rezultă:

4q_d + q_K = 1.24365548
\quad\Rightarrow\quad
q_K = 1.24365548 - 4q_d \ge 0,

iar din $ q_d+q_K+q_u=1$:

q_u = 1 - q_d - q_K = -0.24365548 + 3q_d \ge 0.

Condițiile $ q_K\ge 0$ și $ q_u\ge 0$ impun intervalul:

q_d \in \left[\frac{0.24365548}{3},\frac{1.24365548}{4}\right]=
[0.08121849, 0.31091387].

2. Prețul call-ului și intervalul no-arbitrage Link spre

Câștigul la scadență al unui call: $ (S_T-K)^+$.

Aici $ K=110$, deci:

• la $ S_d=50$: opțiunea expiră fără valoare.
• la $ K=110$: opțiunea expiră fără valoare.
• la $ S_u=130$: se câștigă $ 20$

Prin urmare, prețul depinde doar de masa $ q_u$:

C_0(q) = e^{-rT}\cdot 20\cdot q_u.

Cum $ q_u = -0.24365548 + 3q_d$ și $ q_d\in[0.08121849,0.31091387]$, rezultă:

q_{u,\min} = 0,\qquad
q_{u,\max} = -0.24365548 + 3\cdot 0.31091387 = 0.68908613.

Deci prețul maximal devine:

C_{\max} = e^{-0.05}\cdot 20\cdot 0.68908613 \approx 13.11.

3. Selecția unui q unic prin constrângeri sumplimentare Link spre

Criteriile suplimentare impun o singură măsură $ q$ din mulțimea (infinită) de măsuri martingale admise.

Divergența minimă față de prior (MEMM)

Alegem $ q$ care minimizează divergența KL² față de priorul admisibil $ p=(0.6,0.2,0.2)$:

\min_q \sum_i q_i \log\frac{q_i}{p_i}
\quad \text{s.t. } \mathbb{E}_q[S]=F_{0\to T},\; \sum_i q_i=1,\; q_i\ge 0.

Soluția are formă de „tilt” exponențial:

q_i(\lambda)=\frac{p_i e^{\lambda S_i}}{\sum_j p_j e^{\lambda S_j}},

unde $ \lambda$ se determină din condiția $ \sum_i q_i(\lambda)S_i=F_{0\to T}$.

Pentru datele noastre (numeric):

q3(Y, S0=100, r=0.05, method='MEMM')⏎ 
═════════════════════════════════════
Variabilă aleatoare cu |3⟩ evenimente, (µ = 105.13 | σ = 31.83), entropia (+relativă) 1.06(0.8847)
──
ᴿᵢ      50     110     130
ᵖᵢ 0.23630 0.29844 0.46526

Astfel prețul opțiunii Call devine:

C_{\text{MEMM}} \approx e^{-0.05}\cdot 20\cdot 0.46526 \approx 8.85.

Varianța Optimală (VOMM)

q3(Y, S0=100, r=0.05, method='VOMM')⏎ 
═════════════════════════════════════
Variabilă aleatoare cu |3⟩ evenimente, (µ = 105.13 | σ = 30.98), entropia (+relativă) 1.07(0.905)
──
ᴿᵢ      50     110     130
ᵖᵢ 0.22522 0.34277 0.43201

C_{\text{VOMM}} \approx e^{-0.05}\cdot 20\cdot 0.43201 \approx 8.22.

Pentru a produce rezultatele de mai sus, VOMM alege măsura martingală $ q$ care minimizează eroarea pătratică față de măsura fizică $ p$:

\min_{q \in \mathcal{Q}}
\mathbb{E}_{p}
\Biggl[
\Bigl(
\frac{q}{p} - 1
\Bigr)^2
\Biggr].

Echivalent, minimizează varianța densității Radon–Nikodym, cu media $ \sum_i p_i \frac{q_i}{p_i} = \sum_i q_i = 1.$

Măsura martingală cu varianță optimă este soluția problemei de optimizare

q^\star
=
\arg\min_{q \in \mathcal{Q}}
\sum_{i=1}^3 \frac{(q_i - p_i)^2}{p_i}.

Funcția obiectiv reprezintă o distanță pătratică ponderată între $ q$ și $ p$ și poate fi interpretată ca o măsură a energiei deviației față de probabilitățile admisibile inițiale.

Introducem multiplii lui Lagrange $ \alpha$ și $ \beta$ pentru constrângerile de normalizare și martingalitate. Condițiile de ordinul întâi conduc la relația liniară

q_i
=
p_i\bigl(1 + \alpha + \beta S_i\bigr),
\qquad i=1,2,3.

Coeficienții $ \alpha$ și $ \beta$ se determină unic impunând cele două constrângeri:

\sum_{i=1}^3 q_i = 1
\;\Longrightarrow\;
1+\alpha+\beta\sum_{i=1}^3 p_i S_i = 1
\;\Longrightarrow\;
\alpha = -\beta\,\mathbb{E}_p[S],

a doua condiție (martingalitatea) determină apoi $ \beta$ :

\sum_{i=1}^3 q_i S_i = F_{0\to T}
\;\Longrightarrow\;
\mathbb{E}_p[S] + \alpha\,\mathbb{E}_p[S] + \beta\,\mathbb{E}_p[S^2] = F_{0\to T},

de unde rezultă echivalent

\beta=\frac{F_{0\to T}-\mathbb{E}_p[S]}{\mathrm{Var}_p(S)}.

Spre deosebire de MEMM, unde probabilitățile rezultate au formă exponențială, soluția VOMM este afină în raport cu stările $ S_i$.

Maximizarea entropiei

Alegem $ q$ care maximizează entropia Shannon. Este echivalentă cu prima metodă aplicată la prior $ p=(1/3,1/3,1/3)$

Pentru datele noastre (numeric):

q3(Y, S0=100, r=0.05, use_prior=F)⏎ 
═══════════════════════════════════
Variabilă aleatoare cu |3⟩ evenimente, (µ = 105.13 | σ = 30.68), entropia (+relativă) 1.07(0.9064)
──
ᴿᵢ      50     110     130
ᵖᵢ 0.22137 0.35816 0.42047

Deci:

C_{\text{MaxEnt}} \approx e^{-0.05}\cdot 20\cdot 0.420 \approx 7.99.

În absența unei măsuri a priori, am putea alege distribuția MaxEnt (uniformă, $ p_i =1/3)$ ca punct de plecare. Observăm însă că, în situația în care această distribuție satisface deja condițiile de martingală, aplicarea criteriilor MEMM/VOMM nu mai produce nicio calibrare ulterioară: soluția optimă coincide cu măsura inițială; nu apare informație nouă care să forțeze o altă replicare a probabilităților.

Concluzie Link spre

Folosind metodele de mai sus, am pornit de la o variabilă aleatoare inițială și, prin exploatarea corelațiilor posibile, am replicat o versiune cu conținut informațional ridicat. Atât. Restul este zgomot filosofic.

• Mulțimea măsurilor martingale $ q$ este neunic determinată (piață incompletă).
• Pentru acest exemplu, prețul call-ului depinde doar de probabilitatea risk-neutral a stării superioare $ q_u$.
• Interval no-arbitrage:

  C_0 \in [0,\; 13.11].

Trei selecții principiale:

• MEMM (min KL față de $ p$): $ C_{\text{MEMM}}\approx 8.85$.
• VOMM (minimizează volatilitatea): $ C_{\text{VOMM}}\approx 8.22$.
• MaxEnt (entropie maximă): $ C_{\text{MaxEnt}}\approx 7.99$.

Aceasta pune în evidență variația suportului și faptul că, în lipsa completitudinii, prețul nu este unic fără un criteriu suplimentar. Alftel spus, opțiuni ați vrut, opțiuni ați primit.

Referințe Link spre

@online{Cornaciu2025Equiv,
  author   = {Cornaciu, Valentin},
  orcid    = {0000-0001-9239-7145},
  title    = {De la probabilități admisibile la măsuri martingale echivalente},
  year     = {2026},
  date     = {2026-01-20},
  url      = {https://rcor.ro/ro/posts/2025-12-26-from-admissible-probabilities-to-equivalent-martingale-measures/},
  abstract = {Analizăm piețe incomplete cu trei stări, derivăm mulțimea măsurilor
  martingală și comparăm MEMM, VOMM și MaxEnt ca selecții principiale pentru
  determinarea prețurilor.}
}