Piețele financiare prezintă adesea o corelație negativă puternică între prețurile acțiunilor și indicele VIX. De regulă, această relație este estimată empiric pe baza observațiilor istorice. Totuși, însăși construcția VIX sugerează o abordare diferită.

VIX nu este un indicator de piață arbitrar. El este definit explicit ca un portofoliu ponderat de opțiuni SPX out-of-the-money. În consecință, înainte de a încerca estimarea

$$ \mathrm{cor}(X,\mathrm{VIX}), $$

pentru o acțiune oarecare $ X$, este firesc să înțelegem mai întâi cum se descompune VIX în funcție de prețurile opțiunilor.

Formula VIX a CBOE Link spre

Metodologia VIX publicată de CBOE definește varianța anticipată sub măsura neutră la risc pentru un orizont viitor $ T$ astfel:

$$ \sigma^2(T) = \frac{2e^{RT}}{T} \sum_i \frac{\Delta K_i}{K_i^2} Q(K_i) - \frac{1}{T} \left( \frac{F}{K_0} - 1 \right)^2\tag{1} $$

unde:

  • $ T$ reprezintă timpul până la scadență (în ani). În calculul VIX, Ecuația (1) este evaluată de două ori: o dată pentru scadența apropiată $ T_1$ și o dată pentru următoarea scadență $ T_2$;1

  • $ R$ este rata dobânzii fără risc până la scadență;2

  • $ F = K + e^{RT}\bigl(C(K)-P(K)\bigr)$ este nivelul forward al indicelui, dedus din prețurile opțiunilor, unde $ K$ este prețul de exercitare (strike în continuare) pentru care diferența absolută dintre prețul call și prețul put este minimă;

  • $ K_0$ este primul strike egal cu sau imediat inferior nivelului forward $ F$;3

  • $ \Delta K_i = \frac{K_{i+1}-K_{i-1}}{2}$ reprezintă intervalul dintre strike-uri (jumătate din diferența dintre strike-urile vecine ale lui $ K_i$);

  • $ Q(K_i)$ este mijlocul intervalului bid-ask al opțiunii cu strike-ul $ K_i$.

$$ Q(K)= \begin{cases} P(K), & K < K_0,\\ \dfrac{P(K)+C(K)}{2}, & K = K_0,\\ C(K), & K > K_0. \end{cases}$$

Valoarea finală a VIX se obține calculând media ponderată corespunzătoare unui orizont de 30 de zile dintre $ \sigma_1^2$ și $ \sigma_2^2$, aplicând apoi rădăcina pătrată și înmulțind rezultatul cu 100:

$$ \text{VIX} = 100 \times \sqrt{ \left[ T_1 \sigma^2_1 \left( \frac{N_{T_2} - N_{30}}{N_{T_2} - N_{T_1}} \right) + T_2 \sigma^2_2 \left( \frac{N_{30} - N_{T_1}}{N_{T_2} - N_{T_1}} \right) \right] \times \frac{N_{365}}{N_{30}} } $$

Prin urmare, VIX este construit dintr-un portofoliu de opțiuni put și call out-of-the-money, distribuite pe un interval larg de strike-uri.

VIX ca portofoliu de opțiuni Link spre

Ignorând pentru moment termenul de ajustare forward,

$$ \frac{1}{T} \left( \frac{F}{K_0} -1 \right)^2, $$

estimarea varianței poate fi scrisă sub forma

$$ \sigma^2(T) \approx \sum_i w_i Q(K_i), $$

unde ponderile sunt

$$ w_i=\frac{2e^{RT}}{T}\frac{\Delta K_i}{K_i^2}. $$

Această reprezentare evidențiază imediat o proprietate esențială a VIX. Fiecare opțiune contribuie pozitiv la estimarea varianței, însă contribuția este invers proporțională cu $ K_i^2$. Prin urmare, strike-urile mai mici primesc ponderi semnificativ mai mari decât strike-urile ridicate. Deși suma se extinde pe o gamă largă de strike-uri, prețurile opțiunilor deep out-of-the-money (OTM) devin rapid foarte mici, astfel încât contribuția lor la estimarea varianței este neglijabilă.

Această descompunere introduce și o asimetrie structurală: strike-urile situate sub $ K_0$ contribuie exclusiv prin opțiuni put OTM, în timp ce strike-urile de peste $ K_0$ contribuie exclusiv prin opțiuni call OTM. Deoarece opțiunile de protecție la scădere încorporează o convexitate mai pronunțată sub măsura neutră la risc, estimarea rezultată a varianței este mai sensibilă la modificările prețurilor opțiunilor put decât la modificări comparabile ale prețurilor opțiunilor call. Din punct de vedere conceptual, această structură este apropiată de asimetria unui portofoliu de tip covered call, în care riscurile de creștere și de scădere nu sunt tratate simetric.

Reconstrucția activului suport din opțiuni Link spre

Odată ce VIX este exprimat integral prin prețurile opțiunilor, apare în mod natural întrebarea dacă activul suport poate fi reprezentat într-o manieră similară. Răspunsul este afirmativ.

Paritatea put-call afirmă că

$$ C(K)-P(K)=e^{-RT}(F-K). $$

Rearanjând relația, obținem

$$ F=K+e^{RT}\bigl(C(K)-P(K)\bigr). $$

Cum prețul spot satisface relația

$$ S_0=e^{-RT}F, $$

rezultă

$$ S_0=e^{-RT}K+C(K)-P(K). $$

Prin urmare, pentru orice strike $ K$, activul suport poate fi replicat printr-o poziție în obligațiuni fără risc, împreună cu o poziție long într-o opțiune call și o poziție short într-o opțiune put.

O descompunere strike cu strike Link spre

Repetând relația de paritate pentru mai multe strike-uri, obținem

$$ S_0=\sum_i\alpha_i\left[e^{-RT}K_i+C(K_i)-P(K_i)\right], $$

pentru orice set de ponderi care satisface

$$ \sum_i \alpha_i = 1. $$

Această reprezentare pune activul suport și VIX pe aceeași bază matematică:

  • VIX este o combinație ponderată de prețuri ale opțiunilor;

  • activul suport poate fi, la rândul său, reprezentat prin prețurile opțiunilor folosind paritatea put-call.

Spre o descompunere a corelației Link spre

Estimarea tradițională a

$$ \mathrm{cor}(X,\mathrm{VIX}) $$

utilizează observațiile istorice ale lui X și ale indicelui VIX.

Totuși, după ce ambele mărimi sunt exprimate prin prețurile opțiunilor, corelația poate fi privită ca rezultând din structura de dependență dintre

$$ P_X(K), \qquad C_X(K), \qquad P_{SPX}(K), \qquad C_{SPX}(K). $$

În loc să corelăm două serii temporale observate, putem încerca să corelăm descompunerile lor bazate pe prețurile opțiunilor.

Această perspectivă sugerează o nouă direcție pentru înțelegerea motivului pentru care diferite acțiuni prezintă sensibilități diferite la volatilitatea pieței și la prețul riscului de coadă (tail risk).

Implicații pentru dependența dintre o variabilă suport X și VIX Link spre

Întrucât piața este incompletă, nu ne putem aștepta la o reprezentare unică a dependenței dintre X și VIX. În schimb, trebuie analizat ansamblul transformărilor realizabile asupra datelor disponibile, respectiv acele transformări care pot fi construite din informația observabilă și sunt compatibile cu mecanismele și constrângerile pieței.

Atunci când studiem dependența dintre o variabilă suport $ X$ și VIX, o corelație Pearson sau Spearman calculată direct este, în general, nealiniată cu construcția matematică prezentată anterior. Transformarea de la prețurile opțiunilor la VIX introduce

  • o neliniaritate pronunțată (rădăcina pătrată a unei integrale ponderate);
  • o sensibilitate asimetrică (ponderi dominate de coada stângă a distribuției);
  • agregarea informației provenite din două scadențe ($ T_1$ și $ T_2$);
  • și o proiecție dintr-un obiect de dimensiune mare (suprafața opțiunilor) într-un scalar.

Prin urmare, un obiect de studiu mai natural este

$$ \mathrm{cor}\bigl(g(X), h(\mathrm{VIX})\bigr), $$

unde $ g$ și $ h$ sunt transformări alese astfel încât să alinieze cele două variabile cu sensibilitățile structurale încorporate în construcția VIX.

Transformarea $ g$ poate evidenția caracteristici ale activului suport relevante din punct de vedere economic pentru varianța implicită, în timp ce transformarea $ h$ stabilește dacă analiza urmărește nivelul volatilității implicite sau șocurile de volatilitate.

Exemple de transformări realizabile asupra seriilor analizate sunt:

  • pentru $ g$: randamente logaritmice, varianță realizată, randamente simple sau absolute, randamente negative sau indicatori ai evenimentelor extreme;
  • pentru $ h$: nivelurile VIX, diferențele de ordinul întâi, randamente simple sau randamente logaritmice.

Utilizarea randamentelor logaritmice pentru ambele variabile măsoară asocierea dintre șocurile zilnice. În schimb, utilizarea abaterii standard realizate pentru X, împreună cu nivelul VIX, compară volatilitatea realizată pe un interval de timp cu anticipația ex-ante4 a pieței privind volatilitatea viitoare.

Obiectivul nu este maximizarea corelației în sens pur statistic, ci construirea unei măsuri de dependență compatibile cu funcționala de evaluare care stă la baza definirii VIX.

O altă implicație privește orizontul de timp utilizat pentru estimarea corelației.

Deoarece VIX reflectă prețul de piață al varianței anticipate pentru aproximativ următoarele 30 de zile, și nu o caracteristică economică persistentă, dependența sa față de activul suport este, la rândul ei, dependentă de regimul de piață. Politica monetară, structura pieței, lichiditatea și cererea investitorilor pentru protecție la scădere evoluează în timp, modificând această relație.

În consecință, estimarea unei singure corelații pe un interval de zece ani sau mai mult presupune implicit că această structură de dependență rămâne stabilă pe întreaga perioadă analizată, ipoteză care are puțină justificare economică.

O abordare mai naturală este estimarea dependenței pe intervale relativ scurte, de exemplu folosind ferestre glisante de aproximativ un an. În acest mod, atât transformările $ g$ și $ h$, cât și măsura de dependență rezultată, pot reflecta regimul curent al pieței, în loc să reprezinte o medie peste medii economice fundamental diferite.

Concluzie Link spre

Metodologia CBOE arată că VIX este, în esență, un portofoliu ponderat de opțiuni out-of-the-money. Prin utilizarea parității put-call, și activul suport poate fi reprezentat prin poziții în opțiuni.

Exprimarea ambelor mărimi în funcție de prețurile opțiunilor creează un cadru matematic comun și deschide posibilitatea studierii corelației direct la nivelul prețurilor opțiunilor, și nu doar prin intermediul randamentelor istorice.

Rămâne o întrebare deschisă dacă o astfel de descompunere conduce la estimări ale corelației mai stabile sau mai informative. Totuși, ea oferă un punct de plecare natural pentru investigații viitoare.

Această abordare reprezintă fundamentul investițiilor pe piață, ancorând strategiile în inferență statistică și fiind susținut de principii disciplinate de management al riscului și de principii actuariale. test Nu este necesar să stăpânești fiecare detaliu al modelelor subiacente — ceea ce contează este capacitatea de a identifica un actuar calificat care poate construi și valida cadrul adecvat, asigurând coerență, robustețe și aliniere cu structura de risc a investiției.

@online{Cornaciu2026VIX,
  author   = {Cornaciu, Valentin},
  orcid    = {0000-0001-9239-7145},
  title    = {Dincolo de corelația empirică: descompunerea structurală a VIX},
  year     = {2026},
  date     = {2026-07-10},
  url      = {https://rcor.ro/ro/posts/2026-06-16-beyond-empirical-correlation-a-structural-vix-decomposition-approach},
  abstract = {Articolul interpretează indicele VIX prin prisma metodologiei CBOE,
  evidențiind faptul că acesta reprezintă un portofoliu ponderat de opțiuni
  out-of-the-money. Folosind paritatea put-call, activul suport este exprimat
  în același cadru matematic, ceea ce permite formularea unei descompuneri a
  corelației direct la nivelul prețurilor opțiunilor. Sunt discutate
  transformările adecvate ale variabilelor și limitările estimării corelațiilor
  pe intervale istorice foarte lungi.}
}

  1. unde $$ 23 < N_{\mathrm{near}} \mathord{<} 30 < N_{\mathrm{next}} \mathord{<} 37. $$ Prin urmare, $ T$ nu este fixat la 30 de zile; VIX este obținut prin interpolarea dintre estimările varianței corespunzătoare acestor două scadențe. ↩︎

  2. Aceste rate sunt obținute din curba randamentelor U.S. Treasury Constant Maturity Treasury (CMT), utilizând o interpolare cubică (cubic spline) pentru a determina randamentele corespunzătoare exact datelor de expirare ale opțiunilor SPX. ↩︎

  3. Pornind de la $ K_0$, strike-urile sunt incluse progresiv către exterior până când sunt întâlnite două strike-uri consecutive cu preț bid egal cu zero. În sumă sunt incluse exclusiv opțiuni out-of-the-money (OTM): opțiuni put pentru $ K_i<K_0$, opțiuni call pentru $ K_i>K_0$, iar pentru $ K_0$ sunt incluse atât opțiunea call, cât și opțiunea put. ↩︎

  4. Ex-post desemnează o mărime calculată din date deja observate, în timp ce ex-ante desemnează o mărime referitoare la viitor, bazată pe anticipațiile sau așteptările pieței. ↩︎